Quick Sort

Quick Sort 使用基準值 (pivot) 比對排序，並透過 Recursion 的技巧，不斷將每個元素放到正確的位置上。

第一步是從陣列中取出一個數字當作基準值 (pivot)，取哪個都可以，這邊我們選該陣列的第一個元素。

將這個基準值和陣列中剩餘的數字做比對，比基準值大的排在後面，比基準值小的排在前面。

結束後，這個基準值將會在此陣列中的正確位置。(左邊的一定比他小，右邊的一定比他大)

接著，將左半部分陣列和右半部分陣列也照著第一步遞迴執行下去。

建議可以觀看此網站的動畫演示較好理解。

此排序法也是 In-place 演算法，只更改輸入的陣列內元素的順序，不會回傳新的陣列，所以以下實作都是圍繞在原本陣列更改位置。

幾個變數須先定義：

startIndex (基準值在陣列中的 index)
pivotIndex (經過一輪比對過後最終基準值要在的位置，初始值和 startIndex 一樣)
endIndex (比對到哪裡，一開始先設陣列的長度減一)

以 [24, 5, 1, 31, 10, 9, 2, 3, 4, 29, 7, 6] 來說：

基準值取陣列第一個 24，與其他數字一一比對。此輪比對從 startIndex 到 endIndex 範圍內跑迴圈。由於第一個位置是剛取的基準值，所以比對從第二個開始 (index=1)

pivotIndex
startIndex											endIndex
24	5	1	31	10	9	2	3	4	29	7	6

基準值與 index = 1 的元素比對：5 比較小，pivotIndex 需加 1 (pivotIndex = 1)，並與 pivotIndex 所在的元素進行交換位置 (Swap)。(但兩個位置一樣，所以目前陣列順序沒動)

pivotIndex 是經過一輪比對過後最終基準值要在的位置，所以最終 startIndex 與 pivotIndex 這兩個位置的元素會做交換。

	pivotIndex
startIndex	index										endIndex
24	5	1	31	10	9	2	3	4	29	7	6

基準值與 index = 2 的元素比對：1 比較小，pivotIndex 需加 1 (pivotIndex = 2)，並與 pivotIndex 所在的元素進行交換位置 (Swap)。(但位置一樣，所以目前陣列順序沒動)

		pivotIndex
startIndex		index									endIndex
24	5	1	31	10	9	2	3	4	29	7	6

每輪比對排序完後 pivotIndex 左邊的元素都會比基準值小，右邊的元素都會比基準值大。

基準值與 index = 3 的元素比對：31 比較大，故維持原位置。

		pivotIndex
startIndex			index								endIndex
24	5	1	31	10	9	2	3	4	29	7	6

每輪比對排序完後 pivotIndex 左邊的元素都會比基準值小，右邊的元素都會比基準值大，所以這邊 pivotIndex 就不用移動了。

基準值與 index = 4 的元素比對：10 比較小，pivotIndex 需加 1 (pivotIndex = 3)，並與 pivotIndex 所在的元素進行交換位置 (Swap)。

			pivotIndex
startIndex				index							endIndex
24	5	1	10	31	9	2	3	4	29	7	6

基準值與 index = 5 的元素比對：9 比較小，pivotIndex 需加 1 (pivotIndex = 4)，並與 pivotIndex 所在的元素進行交換位置 (Swap)。

				pivotIndex
startIndex					index						endIndex
24	5	1	10	9	31	2	3	4	29	7	6

基準值與 index = 6 的元素比對：2 比較小，pivotIndex 需加 1 (pivotIndex = 5)，並與 pivotIndex 所在的元素進行交換位置 (Swap)。

					pivotIndex
startIndex						index					endIndex
24	5	1	10	9	2	31	3	4	29	7	6

基準值與 index = 7 的元素比對：3 比較小，pivotIndex 需加 1 (pivotIndex = 6)，並與 pivotIndex 所在的元素進行交換位置 (Swap)。

						pivotIndex
startIndex							index				endIndex
24	5	1	10	9	2	3	31	4	29	7	6

基準值與 index = 8 的元素比對：4 比較小，pivotIndex 需加 1 (pivotIndex = 7)，並與 pivotIndex 所在的元素進行交換位置 (Swap)。

							pivotIndex
startIndex								index			endIndex
24	5	1	10	9	2	3	4	31	29	7	6

基準值與 index = 9 的元素比對：29 比較大，故維持原位置。

							pivotIndex
startIndex									index		endIndex
24	5	1	10	9	2	3	4	31	29	7	6

1. 基準值與 index = 10 的元素比對：7 比較小，pivotIndex 需加 1 (pivotIndex = 8)，並與 pivotIndex 所在的元素進行交換位置 (Swap)。

								pivotIndex
startIndex										index	endIndex
24	5	1	10	9	2	3	4	7	29	31	6

1. 基準值與 index = 11 的元素比對：6 比較小，pivotIndex 需加 1 (pivotIndex = 9)，並與 pivotIndex 所在的元素進行交換位置 (Swap)。

									pivotIndex
startIndex											endIndex
											index
24	5	1	10	9	2	3	4	7	6	31	29

由於上一步已經比對到 index = 11 (endIndex)，也就是此輪比對的全部範圍了，故最後將基準值所在的 startIndex 和最後 pivotIndex 的值交換位置 (Swap)。

startIndex									pivotIndex		endIndex
6	5	1	10	9	2	3	4	7	24	31	29

第一輪結束，由最後結果可以發現我們的基準值 24 左邊都是比他小的數字，右邊都是比他大的數字，基準值被排在了此陣列中的正確位置。
接下來將此基準值的左半邊與右半邊進行排序，遞迴下去執行。從 startIndex 到 pivotIndex - 1 為左半邊， pivotIndex + 1 到 endIndex 為右半邊。

兩邊範圍不包含 pivotIndex 的位置，因為此位置已排序好了

左半邊：startIndex1 = 0，endIndex1 = 8

右半邊：startIndex2 = 10，endIndex2 = 11

startIndex1								endIndex1		startIndex2	endIndex2
6	5	1	10	9	2	3	4	7	24	31	29

遞迴執行，直到 startIndex 大於或等於 endIndex 。

Practice 1 - Pivot Helper

首先來實作一個函式，接收一個陣列、一個 startIndex 與一個 endIndex，照上述範例說明排序好一輪後，回傳最終 pivotIndex 的值。

注意：陣列需使用原本的。

Solution

function pivotHelper(array, startIndex, endIndex) {
  const swap = (arr, index1, index2) => {
    [arr[index1], arr[index2]] = [arr[index2], arr[index1]]; // ES5 寫法
  };

  let pivot = array[startIndex];
  let pivotIndex = startIndex;

  for (let i = startIndex + 1; i <= endIndex; i++) {
    if (array[i] < pivot) {
      pivotIndex++;
      swap(array, pivotIndex, i);
    }
  }

  swap(array, startIndex, pivotIndex);
  return pivotIndex;
}

Practice 2 - Quick Sort

延用上面的 Pivot Helper 來實作 Quick Sort。

Solution

function quickSort(array, startIndex = 0, endIndex = array.length - 1) {
  if (startIndex >= endIndex) return;

  const pivotIndex = pivotHelper(array, startIndex, endIndex);
  quickSort(array, startIndex, pivotIndex - 1);
  quickSort(array, pivotIndex + 1, endIndex);
}

個人一開始的寫法：

function pivotHelper(array, startIndex = 0, endIndex = array.length - 1) {
  if (startIndex >= endIndex) return;

  function swap(array, i, j) {
    const temp = array[i];
    array[i] = array[j];
    array[j] = temp;
  }

  const pivot = array[startIndex];
  let swapIndex = startIndex;

  for (let i = startIndex + 1; i <= endIndex; i++) {
    if (array[i] < pivot) {
      swapIndex++;
      swap(array, swapIndex, i);
    }
  }

  swap(array, startIndex, swapIndex);

  pivotHelper(array, startIndex, swapIndex - 1);
  pivotHelper(array, swapIndex + 1, endIndex);
}

function quickSort(array) {
  pivotHelper(array, 0, array.length - 1);
}

Big O Complexity

Time Complexity (Best)	Time Complexity (Average)	Time Complexity (Worst)	Space Complexity
O(n log n)	O(n log n)	O(n²)	O(log n)

最好與平均的情況是當基準值排序好後，在將近中間的位置，接著將基準值左右兩邊再進行一次排序。

此情況會接近像 Merge Sort 那樣的 O(n log n)，陣列剖半再剖半，然後在每輪中各個元素比對一次。

而最差的情況下每輪排序完後，基準值的左邊或右邊其中一邊只有 1 或 0 個元素，根本沒有剖半到。

像是基準值為 30，第一輪跑完後：[6, 5, 1, 10, 9, 2, 3, 4, 8, 7, 30, 31]

基準值 30 的右邊只有一個元素。

所以最差情況一直發生時的時間複雜度是 O(n²)。

關於 Space Complexity 為何是 O(log n) 的說明：

For quicksort, your intuition about recursion requiring O(log(n)) space is correct. Since quicksort calls itself on the order of log(n) times (in the average case, worst case number of calls is O(n)), at each recursive call a new stack frame of constant size must be allocated. Hence the O(log(n)) space complexity.

Practice 1 - Pivot Helper​

Practice 2 - Quick Sort​

Big O Complexity​

Practice 1 - Pivot Helper

Practice 2 - Quick Sort

Big O Complexity